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【华坛数学讲堂】八年级第三讲——整式乘除、因式分解

华杯赛论坛  2013-09-09 09:35 】 【我要纠错
  在初一,我们已经了解了整式的一些性质,以及整式的一些加减运算。还有何为项,何为单项式,何为多项式,单项式与多项式统称为整式,整式不能带有根号,整式的分母不能有字母之类。那么,关于整式的乘除,我们应该了解哪些内容呢?我们首先先从最简单的开始讨论。   已知任意两个单项式a与b,由知识,我们可知,其积为ab,对于单项式2a2与3ab,也有其积为6a2b,那么我们有   对于任意单项式相乘,把系数相乘和同字母的幂指数相加,异字母用乘号连接(可省略乘号),由定义可知,单项式乘单项式,结果同为单项式。   已知一个单项式a与一多项式b+c+d+……,积为a(b+c+d+……),由分配率拆分后可分为ab+ac+ad+……,我们有:   对于任意单项式乘多项式,把单项式的项乘以多项式的每一项,其余运算按单项式乘单项式的法则运算。   那么,如何运算多项式乘多项式呢?   我们假设已知多项式a+b与c+d,则其积为(a+b)(c+d),设a+b=k,原式变为k(c+d),利用单项式乘多项式的法则,原式拆分变成kc+kd   我们重新把k=a+b代入,则原式为(a+b)c+(a+b)d,再利用单项式乘多项式的法则,拆分后,原式最简形式即为ac+bc+ad+bd,即(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd,   在上面的运算中,我们可以说把a+b看作一个整体,即看作一个单项式对我们已知的单项式乘多项式的知识进行每一步的拆分,由上式的运算我们就可以简便运算为(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd,即每一项与另一个多项式的每一项相乘但不重复。从上,我们还可以得到更简便的运算多项式的法则。   对于任意一个多项式乘多项式,我们先任意选取一个多项式的第一项对另一个多项式的每一项进行运算拆分,再选取第二项对另一个多项式再次运算,直到选取的多项式运算到最后一项为止,这时运算出的结果等价于未拆分时整式的结果。从上,我们可以得到几个特殊公式:   完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2   平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2     完全立方公式:(a±b)2=a2±3a2b+3ab2±b2   立方差公式:(a-b)(a2+ab+b2)=a2-b2   立方和公式:(a+b)(a2-ab+b2)=a2+b2   ……   由定义可知,对于多项式乘以多项式,所得出的结果必然为多项式,若第一个多项式项数为x,第二个为y,经过合并同类项后的式子最低项数为2,最高项数为xy。   上面我们对整式的乘法进行了讨论,那么对于整式的除法,又应该如何运算呢?   若已知两个整式a与b,那么它们的商即为a/b,在a/b中,由于b作为分母而又为一个字母,原式变成了分式,即原式无法变为单项式与多项式的形式,由此我们可知道   整式的除法分为两类,一类为可约形,如pa2/a=pa,pa为一个单项式,满足单项式的性质:分母无字母,式子无根号等。可约形的整式除法的结果为整式。   另一类为不可约形,如之前讨论的a/b,a/b即不为单项式,也不为多项式,不满足整式的所需性质:分母无字母,一般的,对于不可约的整式除法,所得结果为一个分式。   那么在我们本讲讨论的整式的除法中,全部都为可约形,讨论范围为整式。不可约形的性质等详见第四讲A。   对于可约形的单项式除以单项式,例如2x2yz/3x,我们对其对应系数相除,对应幂的指数相减,即为最终结果,由此我们可知,举例的2x2yz/3x=2xyz/3。   对于多项式除以单项式,我们由多项式乘以单项式的性质,类比可知,把多项式的每一项除以单项式,所得结果即为最终结果。例如[ax2y+a2xy2+2axy]/(axy)=x+ay+2,与单项式除以单项式类似。   上面我们讨论了两种相除情况,但是容易发现,多项式除以多项式不在其中,那么,如何求多项式除多项式?我们就要引入新的一个知识:因式分解。   因式分解用途广阔,不仅在多项式除以多项式有其作用,在解高次方程,把项数较多多项式变为简便的几个多项式或单项式相乘等,都是因式分解的作用,其中因式分解用途最广的地方即高次方程求解的用途了。   那么,什么是因式分解呢?因式分解的定义是什么呢?   因式分解,即为一个多项式分为几个多项式与单项式相乘等,一般的,在优发娱乐因式分解基本上为提取公因数,利用公式分解等,现在介绍这两种简单的因式分解的方法   已知多项式ab+by+2ax+2xy,我们一般提取公因数的分解方法为:第一步:b(a+y)+2x(a+y),逆用分配率,可得ab+by+2ax+2xy=(b+2x)(a+y)   当遇到例如2x2-32y2,我们就需要利用公式进行分解,有2x2-32y2=2(x2-16y2)=2(x+4y)(x-4y)。   我们可以毫不避讳的说,因式分解即为整式的乘法的逆运算。对于更加困难的因式分解方法,详见B。   那么,我们就可以利用这个性质,进行多项式除以多项式了。例如(x2+5x+6)/(x+2)=(x+2)(x+3)/(x+2)=x+3,若除数不在被除数分解后的整式中,那么就只能形成分式。   了解了这些性质,我们就可以讨论更多的关于整式的问题了。   例1:因式分解:12kx2y+12kxy2+14kxy+12ky2+2kx2+2kx+2ky   解:根据已知,可得   原式=12kx2y+12kxy2+14kxy+12ky2+2kx2+2kx+2ky   =k(12x2y+12xy2+14xy+12y2+2x2+2x+2y)   =k(12x2y+12xy2+12xy+12y2+2xy+2x2+2x+2y)   =k(6y(2x2+2xy+2x+2y)+2x2+2xy+2x+2y)   =k(6y+1)(2x2+2xy+2x+2y)   =2k(6y+1)(x(x+1)+y(x+1))   =2k(6y+1)(x+y)(x+1)   则原式因式分解后为2k(6y+1)(x+y)(x+1)。   课后习题:   已知整式(x+2)(4x?+12x+9)(x?+4x?+3)(x+1)。①:此式是否还可因式分解至最简形式?若可以,请分解,若不可以,说出理由。②:若其的六次项系数为a,五次项系数为b,二次项系数为c,常数为d,求a+b+c+d的值(难度:中等偏易)   优发娱乐论坛
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