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【华坛数学讲堂】八年级第二讲——一次函数B

华杯赛论坛  2013-09-03 09:02 】 【我要纠错
  通过学习,我们对于函数的定义更深刻了,一次函数一般性的题目想必大家做起来也是得心应手,在这一讲中,我们主要对一次函数图像与直线的关系进行讨论。   在A中,我们曾经讲过,一次函数f(x)=kx+b中,已知两点(x1,f(x1))(x2,f(x2)),有k=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1),那么若(x2,f(x2))为此图像的一个点,但未知,那么一次函数f(x)=kx+b还可以写作什么样呢?   我们容易发现,还可以把直线解析式写作f(x)-f(x1)=k(x-x1),我们一般称作这个为直线的点斜式,也可应用至一次函数,其中k为直线的斜率,或也可称为k为一次函数的一次项系数。   对于已知一次项系数,我们还可以利用待定解析式b=f(x1)-kx1来求出一次函数的方程。   那么,我们怎么方便的已知两点求出一次函数的解析式呢?   我们设k=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1),代入至点斜式,有   f(x)-f(x1)=(f(x2)-f(x1))*(x-x1)/(x2-x1)   当这两点不同时,f(x1)-f(x2)与x1-x2都≠0,那么有   [f(x)-f(x1)]/[f(x2)-f(x1)]=(x-x1)/(x2-x1)   我们一般称此式为直线的两点式,即已知平面直角坐标系中的两点,所对应的直线的方程,或可称作已知一次函数上的两点,经过变形后的函数解析式。   我们讨论了点斜式与两点式,我们发现一次函数的图像有无数条对称轴,每一条对称轴都与其图像所形成直线垂直,那么设原函数为f(x)=kx+b,那么相垂直对应的函数y=g(x)的解析式是什么呢?
(图1)
  如图1,函数y=g(x)垂直于函数f(x)=kx+b,过B点往AC作垂线,垂足为D,有   ∠ADB=∠BDC,90°-∠ABD=90°-∠BCD,   由90°-∠ABD=90°-∠BCD,有∠ABD=∠BCD,∠BAD=∠DBA   那么△ABD∽△BCD,BD:AD=CD:BD。   由于函数f(x)=kx+b中,一次项系数为k,那么我们可知,BD/AD=k,由相似也有CD/BD=k   那么BD/CD=1/k,由于垂直时两一次项系数符号不同,那么可知   函数y=g(x)的一次项系数为-1/k,其常数不定,为可变值。我们就有一个定理:   若一次函数f(x)=kx+b与g(x)=ax+c满足a=-1/k,那么两一次函数图像相垂直。   刚才我们讨论了两一次函数图像垂直的情况,那么平行的情况又应该是怎么样的呢?
(图2)
  如图2,我们发现,这两个平行函数图像往上或往下平移可变成重合的情况,那么我们容易得知,其常数不等,一次项系数相等,依据此点,我们有   当一次函数f(x)=kx+b与g(x)=ax+c满足a=k,b≠c,那么两函数图像平行,若a=k,b=c时,两函数图像重合,即有f(x)=g(x)。   那么,怎么求两函数相交时所形成的角度呢?我们对于比较容易讨论的情况进行研究。
(图3)
  如图3,函数f(x)=kx+b与g(x)=ax+b中,常数项b相等,那么我们由直线的斜率等价于一次项系数,可知   ∠CAB=Arctan(k),∠CBA=180°-Arctan(a)   那么两函数形成的其中一个角的角度为   180°-∠CAB-∠CBA   =180°-Arctan(k)-180°+Arctan(a)   =Arctan(a)-Arctan(k),其中必然有a>k   那么另一个所形成的角为180°+Arctan(k)-Arctan(a),由此我们也容易得知,当a=k时,两直线平行,那么两直线重合,所形成的角为0°与180°,当k=-1/a时,角度为Arctan(a)+Arctan(1/a)=Arctan(a)+Arccot(a),我们由之前的讨论可以得到定理:Arctan(a)+Arccot(a)=90°   那么所形成的另一个角就为180°-90°=90°。   由此讨论,我们得到了两个定理,他们分别为   对任意a≠0,都有Arctan(a)+Arccot(a)=90°   若已知两函数f(x)=kx+b与g(x)=ax+b,则两函数的图像所形成的角度分别为Arctan(a)-Arctan(k)与180°+Arctan(k)-Arctan(a)。   那么我们怎么求出两平行直线的距离呢?我们能不能推出一些公式呢?
(图4)
  如图4,设函数f(x)=kx+b与函数g(x)=kx+c是一组平行直线,其一组垂线为h(x)=-1/k+d   那么容易得知,函数y=f(x)与y=h(x)的交点为A(k(b+d)/(k^2+1),k^2(b+d)/(k^2+1)+b),函数y=g(x)与y=h(x)的交点为B(k(c+d)/(k^2+1),k^2(c+d)/(k^2+1)+c)   则AB=√[[(k(b+d)/(k^2+1)-k(c+d)/(k^2+1)]^2+[k^2(b+d)/(k^2+1)+b-k^2(c+d)/(k^2+1)-c]^2]   =√[[k(b-c)/(k^2+1)]^2+[k^2(b-c)/(k^2+1)+b-c]^2]   经过因式分解与整理,我们得到   原式=|b-c|/√(k^2+1)   我们容易得知,已知两组平行直线一次项系数与常数,那么利用公式我们就可得两直线之间的距离|b-c|/√(k^2+1),由我们之前讨论的许多定理,我们就可以对一次函数的图像进行更深度的讨论与解题了!   例2:已知函数f(x)=3x与g(x)=-1/2x+5,求点A(2,f(2))与函数y=g(x)的距离。
(图5)
  解:如图5,我们容易得知,f(2)=6,则原题目即求点A(2,6)与函数y=g(x)的距离。   过A作直线g(x)=-1/2x+5的垂线,我们容易得知,其垂线的一次项系数为-1/(-1/2)=2,那么设此垂线解析式为y=h(x),利用直线点斜式,我们有   h(x)-6=2(x-2)   h(x)=2x+2   则B点坐标即为联立g(x)=-1/2x+5与h(x)=2x+2所求得的解,容易解出,x=6/5,y=22/5,即坐标为(6/5,22/5)   则AB=√[(2-6/5)^2+(6-22/5)^2]=√(16/25+64/25)=4√(5)/5   那么点A与函数y=g(x)的距离为4√(5)/5   课后练习:   已知一次函数f(x)=3x+5与g(x)=0.5x+5,作出两图像所形成的锐角的角平分线。设角平分线的解析式为y=h(x),那么点(2,h(2))与一次函数图像y=f(x),y=g(x)的距离为?(难度:中)   优发娱乐论坛
我要纠错】 责任编辑:生如夏花
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