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【华坛数学讲堂】八年级第二讲——一次函数A

华杯赛论坛  2013-09-02 11:44 】 【我要纠错
  在数学中,有许多的变化量成一定的关系,例如当时间一定时,速度*时间=路程,速度和时间为相关联的变化量……对于变化量,我们接触的比较少,然而变化量之间的关系与函数有很多的关联。那么,什么是函数呢?其定义是什么呢?   函数,即为多个相关联的变量所可产生的关系的式子,简称函数关系式。其中一般我们使用,讨论的都是一元函数,其一般定义为:设有两个变量x,y,其中y随x的变化而变化,且对于每一个x值,经过一定的运算可以得到y。我们就称之为x为自变量,y为因变量(或可称f(x)为因变量),y是x的函数,用字母表示即为y=f(x),其中f(a)表示的是在自变量x=a时因变量y的值。   由于在有定义的情况下,函数的每一个x都会有一个唯一对应的y与其对应,那么我们就可以把函数的每一个定义的(x,y)画在平面直角坐标系中,所形成的的图形称为函数图像。   如图1,此图中的曲线即为函数f(x)=1/x在一个区间中的图像。对于函数对应的每一个坐标(x,1/x),在此函数图像曲线上都有对应的这些点,对于每一个不满足(x,1/x)的坐标,此图像曲线上都没有对应的这些点。
(图1)
  那么,什么是一次函数呢?其图像是什么呢?一次函数的特殊情况其是什么函数呢?   一般的,若函数的关系式为f(x)=kx+b,由于x的最高正整数系数为1,则我们就称作函数y=f(x)为一次函数。其中,k为一次项系数,b为常数;当一次函数的常数b为0时,我们称函数y=kx为正比例函数,即两变量相除所得数为一常数。   如图2,图中为一组一次函数f(x)=kx+b的图像,我们发现,函数f(x)=kx+b的图像为一条直线,与y轴交点为(0,b),与x轴交点为(-b/k,0)。一般的,我们称一次函数与y轴的交点纵坐标为函数的截距。另外,我们还发现,其图像有连续性,x与y的取值范围都为整个实数域。当k,b都为正值时,图像过一、二、三象限,当k为正值,b为负值时,图像过一,三,四象限,当k为负值,b为正值时,图像过一,二,四象限,当k与b都为负值时,图像过二,三,四象限。在b为0时,k为正值图像过一、三象限,k为负值图像过二、四象限。
(图2)
  特别的,当k为正值时,函数在实数域单调递增(即为对于每一个f(x+a),a为正值,都大于f(x)),当k为负值时,函数在实数域单调递减(相对于单调递增),由于函数为单调函数,则容易得知,一次函数无顶点。   那么,我们怎么确定函数的解析式呢?   假设我们已知一次函数过两点(x1,y1)(x2,y2),那么我们已知的即为两个x值与两个对应的f(x)值,未知的即为一次函数的一次项系数,常数的值。那么我们根据基本求未知数解的知识,把x1,x2与y1,y2代入一次函数一般式中,有   x1*k+b=y1——①,x2*k+b=y2——②   对上述方程进行求解,②-①,得   (x2-x1)k=y2-y1   k=(y2-y1)/(x2-x1)   b=y1-[x1(y2-y1)/(x2-x1)]   则我们即可求出k,b的值,在以后的学习中,我们还可以知道,上式的k也是已知两点求直线斜率的一个公式。求解函数中的系数与常数的过程,叫做待定系数法求解函数解析式,简称待定系数法。利用待定系数法,对于一些函数,我们可以仅已知一定的点,就可确定一个函数的解析式。   假设我们已知两个一次函数的解析式分别为f(x)=kx+b,g(x)=ax+c,在什么时候x的取值,有f(a)=g(a)呢?   我们由二元一次方程组的知识,容易得知,联立两函数解析式可得其的唯一解,当一次项系数相等时,两函数形成的直线平行,一般的,求函数图像交点,求何时两函数x值与y值相同。我们基本上都用联立函数解析式求解其交点,这是一个对于任何函数解析式都适用的一个方法。   那么,一次函数的图像的作用还有哪些呢?   容易发现,一次函数对于一元一次方程kx+b=0,可以看作当函数值f(x)=0时x的值,我们画出函数f(x)=kx+b的图像,查看函数与x轴的交点,交点横坐标即为方程的解。   对于二元一次方程Ax+By+C=0与Dx+Ey+F=0,可看做求函数y=-A/Bx-C/B与函数y=-D/Ex-F/E的交点。画出其函数图像,交点横坐标即为x的解,交点纵坐标即为y的解,在某些时候利用函数图像求解一元一次方程的解与二元一次方程的解是一个可行且方便的方法。   我们还发现,一次函数还有很多可讨论的地方,例如相垂直的一次函数图像其一次项系数积为-1等等,这些在B中会逐一讨论并且对其正确性进行证明。   例1:求直线f(x)=7x-35,g(x)=2x,h(x)=-3x+25所围成的封闭图形面积。   解:根据已知,对函数解析式分别联立,有   y=7x-35,y=2x   解得x=7,y=14,则函数y=f(x)与函数y=g(x)的交点为(7,14)   y=2x,y=-3x+25,   解得x=5,y=10,则函数y=g(x)与函数y=h(x)的交点为(5,10)   y=-3x+25,y=7x-35   解得x=6,y=7,则函数y=f(x)与函数y=h(x)的交点为(6,7)
(图3)
  如图3,设y=f(x)与y=g(x)的交点,y=g(x)与y=h(x)的交点,y=f(x)与y=h(x)的交点分别为A,B,C点,过B点作AC的垂线,垂足为D,那么有   AC=√[(7-6)?+(14-7)?]=√50   AD方程为q(x)-10=-1/7(x-5)   q(x)=-1/7x+75/7   联立y=f(x)与y=q(x),解得x=32/5,y=49/5   那么AD=√[(32/5-5)?+(49/5-10)?]=√[7?/5?+1/5?]=√2   则S△ABC=1/2*√50*√2=5   若想方便计算,可利用海伦公式求面积。   课后习题:   一组登山队爬山,已知他们上山的初始速度为30m/min,上山每分钟速度平均降低1/6m,下山每分钟速度平均增加1/8m,上到山顶后立即下山。下山时初始速度为爬至山顶时速度。现在他们要爬一座2000m的山。问:①上山与下山时速度与时间的函数关系式为?②这组登山队什么时候在山腰处(即1000m处?)③这组登山队何时下完山?(难度:易)   优发娱乐论坛
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