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【华坛数学讲堂】八年级第一讲——全等三角形B

华杯赛论坛  2013-09-02 11:29 】 【我要纠错
  想必大家对全等三角形&三角函数已经有一定的认识性,会解出全等三角形的一些题目了。那么,在最基础的全等定理SSS,SAS,AAS,ASA以及当A≥90°时的SSA(包含HL),是如何比较正规化的证明出来的呢?以下证明均以a的对角为α,b的对角为β,c的对角为γ来讨论。在此证明均为证明已知此条件有且仅有一种三角形对其成立。   已知三组对应边相等,由余弦定理,我们有   c^2=a^2+b^2-2abcosγ   那么cosγ=(a^2+b^2-c^2)/2ab   γ=Arccos((a^2+b^2-c^2)/2ab)   同理,β=Arccos((a^2+c^2-b^2)/2ac)   α=Arccos((b^2+c^2-a^2)/2bc,或α=180°-β-γ   那么三组对应角也可求出,由三角形全等基本定义,可知,两三角形全等,那么SSS成立   同理,已知两组对应边即其夹角,由余弦定理也有   c^2=a^2+b^2-2abcosγ   剩余两角同证SSS可求出,同样由基本定义,可知三角形全等,即有SAS成立   已知两角一边,由内角和定理,有   γ=180°-α-β   利用正弦定理,asinβ/sinα=b,asinγ/sinα=c   由基本定义,可知,两三角形全等,即有AAS与ASA成立。   我们现在需要加重讨论的,即为当A≥90°时的SSA证明其成立。   已知两边一个非夹角,假设已知的两边为a,b,已知的非夹角为α,那么由正弦定理,有   a/sinα=b/sinβ   bsinα/a=sinβ   β=Arcsin(bsinα/a)——①   我们发现,在0°——180°中,β有两解,若α≥90°,那么只可取锐角值,符合一解。   若当a≥b,α为锐角时,由①式,必有α≥β,那么180°-β+α≥180°,说明其只有一解,符合   那么当a≥b或α≥90°时,必然有SSA成立。   这样,我们再一次得到了基础全等定理SSS,SAS,AAS,ASA,当A≥90°时的SSA,并且用较正规的方法证明。   在八年级第一讲A中,曾经我们提到过面积,周长,边和角的关系,现在我们来选取一些来证明。   ①已知三角形面积,一组对应边长,一组对应角角度相等,两三角形全等   证明:我们先假设这组对应边的对角非已知的这组对应角,即已知S、a、γ由三角形面积公式,有   S=1/2*absinγ,变形有2S/asinγ=b,那么b值即可确定,由SAS可知两三角形全等。   那么我们有:已知面积、一边与此边非对角相等时,三角形全等。   当已知面积、一边与此边对角时,由三角形面积公式S=1/2ah,可知,高h可确定,2S/a=h   如图1,AC,∠ABC,BD,S为定值,以∠ABC=α,设A坐标为(x,h),B坐标为(x+a,h),那么有   Arctan(h/x)-Arctan(h/(x+a))=α   由于h,a,α为定值,在0°——180°中tan值都不等,则x有唯一解,AB=√(x^2+h^2),BC=√((x+a)^2+h^2),由SSS可知,三角形全等。   则三角形面积,一组对应边长,一组对应角角度相等,两三角形全等
(图1)
  ②已知三角形面积,周长,一组对应边边长相等,两三角形全等
(图2)
  证明:由三角形面积公式S=1/2ah,有2S/a=h,则关于a边的高确定   如图2,设BC=a,即为已知边,AD为高,以BC之1/2长度为原点建立坐标系,BC为横轴,则其高平行于纵轴。   设B与C为一椭圆的焦点,原椭圆方程为x^2/p^2+y^2/q^2=1,由椭圆的性质可知,椭圆任意一点离两焦点距离之和相等,利用这性质,我们就可以寻找有多少个在此椭圆上的点满足AD=h的条件。   容易发现,B点坐标为(-a/2,0),C点坐标为(a/2,0)。设A点坐标为(x0,h),那么2p=√((-a/2-x0)^2+h^2)+√((a/2-x0)^2+h^2),2p=C-a,由定义有q^2=p^2-(a/2)^2   我们发现,上述方程一共有四组p与q的解,但p^2与q^2只有一组解,说明椭圆唯一。p^2与q^2为定值,把A坐标代入,有x0^2=p^2*(1-h^2/q^2),x0=±√(p^2*(1-h^2/q^2)   那么x0值有正负两解,由于正解至第一个焦点的距离等于负解至第二个焦点的距离,正解至第二个焦点的距离等于负解至第一个焦点的距离,由SSS可知,三角形唯一。则可证明三角形全等。   则已知三角形面积,周长,一组对应边边长相等,两三角形全等,得证   ③、已知三角形周长,一组对应边长,一组非已知对应角角度相等,两三角形全等 (图3)
  证明:设已知边长为a,已知角度为β,那么我们已知的为C,a,β   如图3,β的一个邻边为a,AC为三角形的一条高,那么容易得知,AC=asinβ,其底边长为BC+acosβ   设B点坐标为(x,0),在任意负数横坐标中,都有三角形的周长为C=a-x+√(a^2+x^2-2axcosβ)   容易发现,x越小其周长越大,说明无多解。有唯一解集,则周长唯一。   则我们又再次得到一个定理:已知三角形周长,一组对应边长,一组非已知对应角角度相等,两三角形全等   ……   余下面积、周长、边长、角度的关系,相信大家很容易证明出来。但是,本讲堂发现,某些同学曾经用已知面积,两组对应边边长去证明三角形全等,这是正确的吗?现在我们一起对其进行讨论,首先我们先从基本形式进行试证。   如图4,△ABC与△BCD中,AB=BD,BC=BC,S△ABC=S△BCD。我们一眼就可看出AC≠CD,这是为什么呢?
(图4)
  我们发现,当面积相等时,由于没有角度相等,两边可任意旋转,所解有两个,与SSA类似,所以不能证明三角形全等。   如上,我们可得:已知面积,两组对应边边长,三角形不一定全等。那么我们又应该如何用一般性的方法对其证明不成立呢?   证明:利用三角形面积公式S=1/2absinγ,我们有   γ=Arcsin(2S/ab)   我们发现,只有当2S/ab=1时,γ有唯一解γ=90°,其余在0°——90°,90°——180°分别有一解,且满足γ1=180°-γ2,说明其不一定,有两组解。   我们对各种定理再次重新证明了一遍,并且对某些不正确命题给出了反证。在我们证明三角形全等时,假设符合面积,周长,边长,角度的定理,我们就可以省去很多步骤,对其直接证明了!   例2:如图5,EG=4,GH=8,在矩形EFGH中作一个最大的椭圆,其中椭圆的两个焦点为A与C,已知B与D为椭圆上的两点,AB∥CD,∠ABC=∠ADC,连接AE,BF,DG,CH。求证:①△ABC≌△ACD。②四边形AEGD≌四边形BCFH
(图5)
  证明:∵A,C为椭圆的焦点,B,D为椭圆上任意两点   ∴AB+BC=AD+CD   ∵∠ADC=∠ABC,AB∥CD   ∴ABCD为平行四边形   ∴AB=CD,AD=BC,AC=AC   ∴△ABC≌△ACD   ∵椭圆两焦点至椭圆顶点的距离相等,AC往两边延长,交与I,J两点   ∴EI=GI=FJ=JH,∠EIA=∠GIA=∠CJH=∠CIF,AI=CJ   ∴△EIA≌△AIG≌△CJF≌△CJH   ∴△AEG≌△CHF,∠EAI=∠FCJ   ∴∠EAC=∠FCA   ∵ABCD为平行四边形,AC为其一条对角线   ∴∠BCA=∠CAD,AD=BC   ∴∠BCF=∠GAD   ∵△EAG≌△CFH   ∴CF=AG   ∴△GAD≌△BCF   ∴∠ADG=∠BCF   ∵∠AEG=∠CHF,∠EAG+∠GAD=∠BCF+∠FCH,∠EGA+∠AGD=∠HFC+∠CFB,AE=CH,EG=FH,AD=BC,DG=BF   ∴四边形AEGD≌四边形BCFH   课后习题:   在例2的基础上,连接BG与FD,BE与DH,EC与CG,试证明五边形BGDHC≌五边形DFBEA,且求出四边形ECGA的面积。(难易度:难)   优发娱乐论坛
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